幂函数

高中数学补课 · 第15周 周二

一、知识点概述

幂函数是形如 $f(x) = x^\alpha$ 的函数，其中 $\alpha$ 是常数（指数）。

幂函数是最基本的初等函数之一。初中阶段已经接触过 $y = x$，$y = x^2$，$y = x^{-1}$（反比例函数）等，高中阶段要系统地研究幂函数的定义、图像和性质。

核心思想： 指数 $\alpha$ 决定了函数的一切面貌——定义域、值域、单调性、奇偶性、图像形状。记住 $\alpha$ 的五大类型，就能掌握所有幂函数。

二、核心公式

2.1 定义

形如

$$f(x) = x^\alpha \quad (\alpha \in \mathbb{R})$$

的函数称为幂函数。注意：幂函数是系数为 1 的"纯"幂形式，$f(x) = 2x^3$、$f(x) = (x+1)^2$ 都不是幂函数。

2.2 五大基本幂函数

高中重点掌握以下五种 $\alpha$ 取值：

指数 $\alpha$	函数	定义域	值域	奇偶性	单调性
$1$	$y = x$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇函数	全定义域递增
$2$	$y = x^2$	$\mathbb{R}$	$[0, +\infty)$	偶函数	$(-\infty, 0]$ 减，$[0, +\infty)$ 增
$3$	$y = x^3$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	奇函数	全定义域递增
$\frac{1}{2}$	$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	$[0, +\infty)$	非奇非偶	$[0, +\infty)$ 递增
$-1$	$y = x^{-1} = \frac{1}{x}$	$\{x \mid x \neq 0\}$	$\{y \mid y \neq 0\}$	奇函数	$(-\infty, 0)$ 减，$(0, +\infty)$ 减

2.3 一般性质

定义域规则：

• $\alpha > 0$（整数）→ 定义域通常为 $\mathbb{R}$
• $\alpha > 0$（分数 $\frac{p}{q}$，$q$ 为偶数）→ 定义域为 $[0, +\infty)$
• $\alpha < 0$ → $x = 0$ 处无定义（分母不能为零）

奇偶性规则：

• $\alpha$ 为奇数 → 奇函数，$f(-x) = -f(x)$
• $\alpha$ 为偶数 → 偶函数，$f(-x) = f(x)$
• $\alpha$ 为分数 → 通常非奇非偶（定义域不对称）

在第一象限的图像规律：

• $\alpha > 0$：过原点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，$\alpha$ 越大图像越"陡"（靠近 $y$ 轴）
• $\alpha < 0$：过 $(1,1)$，$x \to 0^+$ 时 $y \to +\infty$，$x \to +\infty$ 时 $y \to 0$

所有幂函数都过点 $(1,1)$（因为 $1^\alpha = 1$）。

2.4 单调性与 $\alpha$ 的关系

在 $(0, +\infty)$ 上：

• $\alpha > 0 \Rightarrow y = x^\alpha$ 严格递增
• $\alpha < 0 \Rightarrow y = x^\alpha$ 严格递减
• $\alpha = 0 \Rightarrow y = 1$（常函数）

2.5 导数公式（提前了解）

$$\frac{d}{dx} x^\alpha = \alpha x^{\alpha - 1}$$

在 $(0, +\infty)$ 上：

• $\alpha > 0 \Rightarrow (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1} > 0$ → 递增
• $\alpha < 0 \Rightarrow (x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha - 1} < 0$ → 递减

三、例题讲解

例1（基础）判断幂函数

下列函数中哪些是幂函数？
① $y = x^3$ ② $y = 2x^2$ ③ $y = (x-1)^2$ ④ $y = x^{\frac{3}{2}}$ ⑤ $y = \frac{1}{x^2}$

思路： 幂函数必须是 $f(x) = x^\alpha$ 的形式（系数为 1，底数就是 $x$）。

• ① ✅ 是，$\alpha = 3$
• ② ❌ 不是，系数为 2（是二次函数的变形）
• ③ ❌ 不是，底数是 $x-1$（图像平移了）
• ④ ✅ 是，$\alpha = \frac{3}{2}$
• ⑤ ✅ 是，$y = x^{-2}$，$\alpha = -2$

例2（基础）幂函数求参

已知幂函数 $f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^2 - 2m - 2}$ 是幂函数，求 $m$ 的值。

思路： 幂函数的系数必须为 1（这是定义决定的）。

由 $m^2 - m - 1 = 1$：

$$m^2 - m - 2 = 0 \Rightarrow (m - 2)(m + 1) = 0$$

$$m = 2 \quad \text{或} \quad m = -1$$

• $m = 2$：指数 $= 4 - 4 - 2 = -2$，$f(x) = x^{-2}$
• $m = -1$：指数 $= 1 + 2 - 2 = 1$，$f(x) = x$

答案： $m = 2$ 或 $m = -1$

例3（中等）大小比较

比较 $1.5^{\frac{2}{3}}$，$1.7^{\frac{2}{3}}$，$0.8^{-\frac{1}{2}}$，$0.9^{-\frac{1}{2}}$ 的大小。

思路： 利用幂函数 $y = x^\alpha$ 在 $(0, +\infty)$ 上的单调性。

第一组：$y = x^{\frac{2}{3}}$，在 $(0, +\infty)$ 上递增。

因为 $1.5 < 1.7$，所以 $1.5^{\frac{2}{3}} < 1.7^{\frac{2}{3}}$。

第二组：$y = x^{-\frac{1}{2}}$，在 $(0, +\infty)$ 上递减。

因为 $0.8 < 0.9$，所以 $0.8^{-\frac{1}{2}} > 0.9^{-\frac{1}{2}}$。

估算数值比较两组大小：

• $0.8^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{0.8}} \approx 1.118$
• $0.9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{0.9}} \approx 1.054$
• $1.5^{\frac{2}{3}} \approx 1.310$
• $1.7^{\frac{2}{3}} \approx 1.423$

所以负指数组 $< 1.12$，正指数组 $> 1.3$，整体排序清晰。

答案： $0.9^{-\frac{1}{2}} < 0.8^{-\frac{1}{2}} < 1.5^{\frac{2}{3}} < 1.7^{\frac{2}{3}}$

例4（考研风格）幂函数 + 不等式综合

已知幂函数 $f(x) = x^{m^2 - m - 6}$（$m \in \mathbb{Z}$）在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，且为偶函数，求 $m$ 并确定 $f(x)$ 的表达式。

思路： 条件翻译——

1. 在 $(0, +\infty)$ 上递减 $\Rightarrow m^2 - m - 6 < 0$
2. 偶函数 $\Rightarrow m^2 - m - 6$ 为偶数

解不等式 $m^2 - m - 6 < 0$：

$$(m - 3)(m + 2) < 0 \Rightarrow -2 < m < 3$$

因为 $m \in \mathbb{Z}$，所以 $m \in \{-1, 0, 1, 2\}$。

逐个验证指数 $\alpha = m^2 - m - 6$ 是否为偶数：

• $m = -1$：$\alpha = 1 + 1 - 6 = -4$ ✅ 偶数
• $m = 0$：$\alpha = -6$ ✅ 偶数
• $m = 1$：$\alpha = -6$ ✅ 偶数
• $m = 2$：$\alpha = -4$ ✅ 偶数

再检查：$\alpha = -4$ 或 $\alpha = -6$ 都满足 $f(x) = x^{-4}$ 或 $f(x) = x^{-6}$，都是偶函数且在 $(0, +\infty)$ 上递减。

答案： $m \in \{-1, 0, 1, 2\}$，对应 $f(x) = x^{-4}$ 或 $f(x) = x^{-6}$。

例5（考研风格）幂函数图像比较

已知幂函数 $y = x^a, y = x^b, y = x^c$ 在第一象限的图像如下排列（从左到右）：$y = x^a$ 最靠近 $y$ 轴，$y = x^b$ 居中，$y = x^c$ 最靠近 $x$ 轴。已知 $a, b, c > 0$，比较 $a, b, c$ 的大小。

思路： 在第一象限，对相同横坐标 $x \in (0,1)$ 和 $x \in (1, +\infty)$ 分别讨论。

关键结论：在 $x > 1$ 时，$x^\alpha$ 越大意味着 $\alpha$ 越大（因为 $\log x > 0$）。

图像靠近 $y$ 轴 $\Rightarrow$ 增长更快 $\Rightarrow$ 指数更大。
图像靠近 $x$ 轴 $\Rightarrow$ 增长更慢 $\Rightarrow$ 指数更小。

所以：$a > b > c > 0$。

验证： 取 $x = 2$，则 $2^a > 2^b > 2^c$（因为底数相同 $> 1$），所以 $a > b > c$。

答案： $a > b > c > 0$。

四、避坑指南

❌ 坑1：幂函数 vs 指数函数

幂函数是 $y = x^\alpha$（幂是变量，指数是常数）
指数函数是 $y = a^x$（指数是变量，底数是常数）

千万别搞混！这是最常见的概念错误。

❌ 坑2：定义域陷阱

$y = x^0 = 1$ 的定义域不是 $\mathbb{R}$，而是 $\mathbb{R} \setminus \{0\}$（因为 $0^0$ 未定义）。

$y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ 的定义域是 $[0, +\infty)$，不能取负数（实数范围内）。

❌ 坑3：单调性必须分区间

$y = x^{-1}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减，在 $(0, +\infty)$ 上递减，但不能说"在定义域上递减"，因为 $x = -1$ 和 $x = 1$ 时 $f(-1) < f(1)$，不满足整体递减。

❌ 坑4：图像过定点的判断

所有幂函数（$x^\alpha$ 有意义时）都过 $(1,1)$，但不是所有都过 $(0,0)$——$\alpha \leq 0$ 时不过原点。

✅ 解题检查清单

1. 识别幂函数 — 系数是否为 1？底数是否就是 $x$？
2. 先定定义域 — 指数正负、分子分母奇偶性决定了定义域
3. 利用单调性比大小 — 构造合适的幂函数 $y = x^\alpha$
4. 注意区间 — 单调性、奇偶性都依赖于讨论的区间