基本不等式

高中数学 · 第14周 周四

一、知识点概述

基本不等式（又称均值不等式、算术-几何平均不等式）是高中数学中处理最值问题的核心工具。它建立了算术平均数与几何平均数之间的大小关系，是求函数最值、证明不等式的常用方法。

核心思想： 和定积最大，积定和最小。

二、核心公式

2.1 基本形式

对任意实数 $a, b$，有：

$$a^2 + b^2 \geq 2ab$$

等号成立条件：$a = b$

2.2 均值不等式（最重要）

对 $a > 0, b > 0$：

$$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$$

即：算术平均数 $\geq$ 几何平均数

等号成立条件：$a = b$

常用变形：

$$a + b \geq 2\sqrt{ab} \quad (a > 0, b > 0)$$

$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \quad (a > 0, b > 0)$$

2.3 三个重要推论

对 $a > 0, b > 0$：

$$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$$

$$a + \frac{1}{a} \geq 2$$

$$(a + b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4$$

2.4 常用结论（和定积最大）

若 $a + b = S$（定值），$a > 0, b > 0$，则：

$$ab \leq \frac{S^2}{4}$$

等号当 $a = b = \frac{S}{2}$ 时成立。

若 $ab = P$（定值），$a > 0, b > 0$，则：

$$a + b \geq 2\sqrt{P}$$

等号当 $a = b = \sqrt{P}$ 时成立。

三、例题讲解

例1（基础）求最值

已知 $x > 0$，求 $f(x) = x + \frac{4}{x}$ 的最小值。

思路： 识别"积为定值"结构。

• 因为 $x > 0$，满足使用基本不等式的条件
• $x \cdot \frac{4}{x} = 4$（定值！）
• 所以 $x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$
• 等号成立：$x = \frac{4}{x} \Rightarrow x = 2$

答案： 最小值为 $4$，当 $x = 2$ 时取到。

例2（基础）条件最值

已知 $a > 0, b > 0$，且 $a + b = 1$，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值。

思路： "1的代换"技巧。

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) = 1 \cdot \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$$

展开：

$$= \frac{a+b}{a} + \frac{a+b}{b} = 1 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 1 = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b}$$

由 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$：

$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$$

等号：$a = b = \frac{1}{2}$

答案： 最小值为 $4$。

例3（考研风格）函数最值综合

设 $x > -1$，求 $f(x) = \frac{x^2 + 7x + 10}{x + 1}$ 的最小值。

思路： 换元 + 基本不等式。

令 $t = x + 1 > 0$（因为 $x > -1$），则 $x = t - 1$：

$$f(x) = \frac{(t-1)^2 + 7(t-1) + 10}{t} = \frac{t^2 + 5t + 4}{t} = t + \frac{4}{t} + 5$$

对 $t + \frac{4}{t}$ 使用基本不等式：

$$t + \frac{4}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{4}{t}} = 4$$

所以 $f(x) \geq 4 + 5 = 9$，等号当 $t = 2$（即 $x = 1$）时成立。

答案： 最小值为 $9$。

例4（考研风格）带约束的二元最值

设 $x > 0, y > 0$，且 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$，求 $x + y$ 的最小值。

思路： 利用约束条件做"1的代换"。

$$x + y = (x + y) \cdot 1 = (x + y)\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right)$$

展开：

$$= 1 + \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} + 2 = 3 + \frac{2x}{y} + \frac{y}{x}$$

对 $\frac{2x}{y} + \frac{y}{x}$（两项都为正），用基本不等式：

$$\frac{2x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{2x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\sqrt{2}$$

所以 $x + y \geq 3 + 2\sqrt{2}$

等号条件：$\frac{2x}{y} = \frac{y}{x} \Rightarrow y^2 = 2x^2 \Rightarrow y = \sqrt{2}x$

代入约束 $\frac{1}{x} + \frac{2}{\sqrt{2}x} = 1$：$\frac{1 + \sqrt{2}}{x} = 1$，得 $x = 1 + \sqrt{2}$

答案： 最小值为 $3 + 2\sqrt{2}$。

四、避坑指南

❌ 坑1：忽略正数条件

基本不等式 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ 要求 $a > 0, b > 0$！

错误示范：$x + \frac{1}{x} \geq 2$ 对所有 $x$ 成立？❌ 不对！$x < 0$ 时不适用。

❌ 坑2：等号取不到

使用基本不等式时，必须验证等号成立条件能否满足。

例如：$x + \frac{1}{x-1}$（$x > 1$），直接写 $x + \frac{1}{x-1} \geq 2$ 是错的，因为 $x = \frac{1}{x-1}$ 的解需要具体求出。

❌ 坑3：积/和不是定值

必须凑出乘积为定值（求最小值）或和为定值（求最大值）的结构。

错误示范：$x + \frac{1}{x} + x^2$ 不能直接用基本不等式，因为 $x \cdot \frac{1}{x} \cdot x^2 = x^2$ 不是定值。

❌ 坑4：连续使用时等号条件矛盾

多次使用基本不等式时，每次的等号条件必须同时满足。

✅ 解题检查清单

1. 正数检验 — 所有变量是否都为正？
2. 定值检验 — 乘积或和是否为定值？
3. 等号检验 — 等号成立的条件是否存在？
4. 三步缺一不可 — "一正、二定、三相等"